REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
Funciones implicitas, y funciones expresadas de forma parametrica

Integrante:
David Delgado C.I.Nº17.701.364
Los Teques, 18 de enero de 2010
Función implícita
Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual y= F(x)
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de R^2 entre las variables x e y:
y`3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0
En ocasiones, sobre todo al resolver ecuaciones diferenciales, la función estará expresada de esta manera porque no hay forma posible de despejar la y.
Por ejemplo, y + arctg(x +ye^x) = 0 es una función implícita de la cual no es posible despejar la y.
En otras ocasiones en cambio el escribirla de manera implícita es por motivos de comodidad. Así, las dos expresiones expresan la misma función (que represena sobre el plano una circunferencia), aunque la primera forma de expresar la función es más cómoda.
y^2 + x^2 = c
y = +/-(c^2 - x^2)^1/2
Una función implícita se caracteriza porque en la ecuación que actúa como regla de correspondencia, la variable dependiente y no se encuentra despejada.
Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función , F (x,y) implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x : .dy/dx = f´(x)
Si consideramos y = f(x)es una función en términos de la variable independiente x y g(y) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que y = F(x), entonces para obtener la derivada:Dx(G(y)) = Dx (G(f(x))) = G´(f(x)) (f´(x))
Ejemplo:
Considérese ahora a f(x,y)como representación de una expresión en x, y;en tal forma que f(x,y)=0...(1)es una ecuación en x,y no resuelta para y
La ecuación 2x2 –2xy+y2 -1=0... (a)
Es una ecuación del tipof(x, y)=0... (1)
Donde f(x, y)=2x2-2x+y2-1
Se despeja la ecuación en este caso de segundo grado en “y”
Y2-2xy+ (2x2-1)=0
Donde Y=2x±Ö4x2-4(2x2-1) = x±1/2Ö4-4x2 2 las soluciones de dicha ecuación son y=x±Ö1-x2 dado que hay dos valores de “y” para cada valor de “x” en el intervalo abierto (-1,1), la ecuación (a) especifica una relación multiforme, pero no una función.
Funciones expresadas en forma paramétrica
Una representación paramétrica frecuentemente puede constituir la regla de correspondencia de una función.
Las ecuaciones x=cosq ; y =2 senq en las que q es el parámetro, corresponden a la elipse de la ecuación cartesiana.
x2/9 + y2/4 =1
Desde luego en estas ecuaciones definen multiforme en el intervalo abierto –3<>
f1=í(x,y)ï x= 3 cos q, y= 2sen q, -3<>0ý
f2=í(x,y) ê x= 3 cos q ,y= 2 senq ,-3 < style=""> y <0ý
Una aplicación útil de las representaciones paramétricas se presenta en problemas de movimiento curvilíneo donde comúnmente se considera que (x,y)son las coordenadas cartesianas del punto “x”.